Álgebra linear Exemplos

3 (cos (π) + i sin (π))

$3 (\cos (π) + i \sin (π))$

Etapa 1

Calcule a distância de

(a, b)

$(a, b)$ até a origem usando a fórmula

r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

r = \sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2

Simplifique

\sqrt{{(3 cos (π))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$\sqrt{{(3 \cos (π))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

r = \sqrt{{(3 (- cos (0)))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- \cos (0)))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.2

O valor exato de

cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 (- 1 \cdot 1))}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique

3 (- 1 \cdot 1)

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(3 \cdot - 1)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Multiplique

3

$3$ por

- 1

$- 1$ .

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.4

Eleve

- 3

$- 3$ à potência de

2

$2$ .

r = \sqrt{9 + {(sin (π) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (π) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

r = \sqrt{9 + {(sin (0) \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(\sin (0) \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.6

O valor exato de

sin (0)

$\sin (0)$ é

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}

$r = \sqrt{9 + {(0 \cdot 3)}^{2}}$

Etapa 2.7

Multiplique

0

$0$ por

3

$3$ .

r = \sqrt{9 + 0^{2}}

$r = \sqrt{9 + 0^{2}}$

Etapa 2.8

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

r = \sqrt{9 + 0}

$r = \sqrt{9 + 0}$

Etapa 2.9

Some

9

$9$ e

0

$0$ .

r = \sqrt{9}

$r = \sqrt{9}$

Etapa 2.10

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

r = \sqrt{3^{2}}

$r = \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.11

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

r = 3

$r = 3$

r = 3

$r = 3$

Etapa 3

Calcule o ângulo de referência

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{b}{a} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

θˆ = arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Etapa 4

Simplifique

arctan (∣ ∣ ∣ \frac{sin (π) \cdot 3}{3 cos (π)} ∣ ∣ ∣)

$\arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

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Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π) \cdot 3}{3 \cos (π)} |)$

Etapa 4.1.2

Reescreva a expressão.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (π)}{\cos (π)} |)$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sin (0)}{\cos (π)} |)$

Etapa 4.2.2

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{\cos (π)} |)$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- \cos (0)} |)$

Etapa 4.3.2

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1 \cdot 1} |)$

Etapa 4.3.3

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{0}{- 1} |)$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Mova o número negativo do denominador de

$\frac{0}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot 0 |)$

Etapa 4.4.2

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$θ̂ = \arctan (| 0 |)$

Etapa 4.5

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$0$ é

$0$ .

$θ̂ = \arctan (0)$

Etapa 4.6

O valor exato de

$\arctan (0)$ é

$0$ .

$θ̂ = 0$

Etapa 5

Encontre o quadrante.

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Etapa 5.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$(3 (- \cos (0)), \sin (π) \cdot 3)$

Etapa 5.2

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$(3 (- 1 \cdot 1), \sin (π) \cdot 3)$

Etapa 5.3

Multiplique

$3 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 5.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$(3 \cdot - 1, \sin (π) \cdot 3)$

Etapa 5.3.2

Multiplique

$3$ por

$- 1$ .

$(- 3, \sin (π) \cdot 3)$

Etapa 5.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$(- 3, \sin (0) \cdot 3)$

Etapa 5.5

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$(- 3, 0 \cdot 3)$

Etapa 5.6

Multiplique

$0$ por

$3$ .

$(- 3, 0)$

Etapa 5.7

Como a coordenada x é negativa e a coordenada y é

$0$ , o ponto está localizado no eixo x, entre o segundo e o terceiro quadrantes. Os quadrantes são rotulados no sentido anti-horário, começando pelo canto superior direito.

Entre o quadrante

$2$ e

$3$

Entre o quadrante

$2$ e

$3$

Etapa 6

Use a fórmula para encontrar as raízes do número complexo.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Etapa 7

Substitua

$r$ ,

$n$ e

$θ$ na fórmula.

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Etapa 7.1

Combine

${(3)}^{\frac{1}{3}}$ e

$\frac{θ + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.2

Combine

$c$ e

$\frac{{(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.3

Combine

$i$ e

$\frac{c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Etapa 7.4

Combine

$s$ e

$\frac{i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(3)}^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Etapa 7.5

Remova os parênteses.

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Etapa 7.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c (3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))))}{3}$

Etapa 7.5.2

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)))}{3}$

Etapa 7.5.3

Remova os parênteses.

$\frac{s (i (c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.5.4

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k))}{3}$

Etapa 7.5.5

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c \cdot 3^{\frac{1}{3}}) (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.5.6

Remova os parênteses.

$\frac{s (i c) \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 7.5.7

Remova os parênteses.

$\frac{s i c \cdot 3^{\frac{1}{3}} (θ + 2 π k)}{3}$

Etapa 8

Substitua

$k = 0$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 8.1

Remova os parênteses.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (0)}{3})$

Etapa 8.2

Multiplique

$2 π (0)$ .

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Etapa 8.2.1

Multiplique

$0$ por

$2$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0 π}{3})$

Etapa 8.2.2

Multiplique

$0$ por

$π$ .

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

Etapa 9

Substitua

$k = 1$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (1)}{3})$

Etapa 9.2

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

Etapa 10

Substitua

$k = 2$ na fórmula e simplifique.

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Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π (2)}{3})$

Etapa 10.2

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$

Etapa 11

Liste as soluções.

$k = 0 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 0}{3})$

$k = 1 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 2 π}{3})$

$k = 2 : 3^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{θ + 4 π}{3})$